Question

(22)如圖，以橢圓(a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F(c，0)(c＞b)作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A.連結OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．

(Ⅰ)證明c²=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；

(Ⅱ)設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明·=b²．

Answer 1

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力.

(Ⅰ)證明：由題設條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，c²=ab.

解：在Rt△OFA中，

FA=

于是，直線OA的斜率k_0A=.設直線BF的斜率為k，則

k=

這時，直線BF的方程為y=（x－c），令x=0，則

y=

所以直線BF與y軸的交點為M（0，a）.

(Ⅱ)證明：由（Ⅰ），得直線BF的方程為y=kx+a，且

k²=          ②

 

由已知，設P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）,則它們的坐標滿足方程組

由方程組③消去y，并整理得

（b²+a²k²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0.     ④

由①、②和④，

 

x₁x₂=

由方程組③消去x，并整理得

 

（b²+a²k²）y²-2ab²y+a²b²-a²b²k²=0.  ⑤

由式②和⑤，

 

y₁y₂=

綜上，得到

·.

 

注意到a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²,得

 

·