Question

【題目】已知拋物線，是坐標原點，點是拋物線上一點（與坐標原點不重合），圓是以線段為直徑的圓。

（1）若點坐標為，求拋物線方程以及圓方程；

（2）若，以線段為直徑的圓與拋物線交于點（與點不重合），求圓面積的最小值。

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為，圓方程為：（2）

【解析】

（1）將代入拋物線方程即可得到拋物線方程；根據點坐標可求得圓心和半徑，從而得到圓的方程；（2）根據得拋物線方程，設，，根據在圓上可得，整理可得，利用基本不等式可求得；代入圓的面積公式即可求得結果.

（1）在拋物線上 ，解得：

拋物線的方程為：

又 圓心為，半徑為

圓方程為：

（2）

設，

在以為直徑的圓上 ，即

又，

又，且，

（當且僅當，即時取等號）

圓的面積

圓面積的最小值為