Question

（2008•湖北模擬）已知f(x)=3sinωxcosωx-

3

cos2ωx+2sin2(ωx-

π

12

)+

3

12

(ω＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）值域；
（2）若對任意的a∈R，函數(shù)y=f（x）在（a，a+π]上的圖象與y=1有且僅有兩個不同的交點，試確定ω的值（不必證明）并寫出該函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡f（x）的解析式為2sin(2ωx-

π

3

)+1，由正弦函數(shù)的值域從而得到f（x）值域．
（2）由題意可得f（x）周期為π，求出ω=1，從而得到f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，由此寫出函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx-

3

2

(2cos2ωx-1)+1-cos(2ωx-

π

6

) 
=

3

(

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx)-cos(2ωx-

π

6

)+1
=

3

sin(2ωx-

π

6

)-cos(2ωx-

π

6

)+1  （2分）
=2[

3

2

sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

cos(2ωx-

π

6

)]+1
=2sin(2ωx-

π

3

)+1． （6分）
∴f（x）值域為[-1，3]．
（2）由題意可得 f（x）周期為π，∴ω=1．（8分）   故 f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
故 f（x）在[0，

5

12

π]、[

11

12

π，π]上單調(diào)遞增，在[

5

12

π，

11

12

π]上單調(diào)遞減．（12分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的值域和單調(diào)性，化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(2ωx-

π

3

)+1，是解題的關(guān)鍵．