Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC；
（Ⅱ）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知和勾股定理可得PA⊥AC，PA⊥AB，由線面垂直的判斷可得PA⊥平面ABC，進而可得；（2）取PC中點G，由面面平行的判斷可得；（3）可得△ABC的面積，棱錐的高即為PA=3，代入體積公式可得．

解答：（1）證明：∵PC²=PA²+AC²，PB²=PA²+AB²
∴PA⊥AC，PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
又∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC
（2）取PC中點G，連接AG、BG，
∵PF：FC=3：1，∴GF=FC
又因為D、E分別是BC、AC的中點，
∴AG∥EF，BG∥DF，
又AG∩BG=G，EF∩EF=F，
∴平面ABG∥平面DEF；
（3）由題意可得△ABC的面積為

1

2

×5×

42-( 5 2 )2

=

5 39

2

由于PA⊥平面ABC，故棱錐的高即為PA=3
故三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

×

5 39

2

×3=

5 39

2

點評：本題考查線面垂直的判斷和面面平行的判定，涉及三棱錐的體積的求解，屬中檔題．