Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．設M是底面ABC內一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三棱錐M-PAB、三棱錐M-PBC、三棱錐M-PCA的體積．若f（M）=（

1

2

，x，y），且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，則正實數a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據三棱錐的特點求出其體積，然后利用基本不等式求出

1

x

+

a

y

的最小值，建立關于a的不等關系，解之即可．

解答：解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．
∴V _P-ABC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1=

1

2

+x+y
即x+y=

1

2

則2x+2y=1

1

x

+

a

y

=（

1

x

+

a

y

）（2x+2y）=2+2a+

2y

x

+

2ax

y

≥2+2a+4

a

≥8
解得a≥1
∴正實數a的最小值為1
故答案為：1

點評：本題主要考查了棱錐的體積，同時考查了基本不等式的運用，是題意新穎的一道題目，屬于中檔題．