Question

已知二次函數f（x）=2kx²-2x-3k-2，x∈[-5，5]．
（1）當k=1時，求函數f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數k的取值范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數．

Answer 1

分析：（1）當k=1時，f（x）=2x²-2x-5，可得區間（-5，

1

2

）上函數為減函數，在區間（

1

2

，5）上函數為增函數．由此可得[f（x）]_max=55，[f（x）]_min=-

11

2

；
（2）由題意，得函數y=f（x）的單調減區間是[a，+∞），由[-5，5]?[a，+∞）解出a≤-5，即為實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當k=1時，函數表達式是f（x）=2x²-2x-5，
∴函數圖象的對稱軸為x=

1

2

，
在區間（-5，

1

2

）上函數為減函數，在區間（

1

2

，5）上函數為增函數．
∴函數的最小值為[f（x）]_min=f（

1

2

）=-

11

2

，
函數的最大值為f（5）和f（-5）中較大的值，比較得[f（x）]_max=f（-5）=55．
綜上所述，得[f（x）]_max=55，[f（x）]_min=-

11

2

．
（2）∵二次函數f（x）圖象關于直線x=

1

2k

對稱，
∴要使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數，
則必有

1

2k

≤-5或

1

2k

≥5，
解得-

1

10

≤k＜0或0＜k≤

1

10

．
即實數k的取值范圍為[-

1

10

，0）∪（0，

1

10

]．

點評：本題給出含有參數的二次函數，討論函數的單調性并求函數在閉區間上的最值，著重考查了二次函數的圖象與性質和函數的單調性等知識．