Question

已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、．
（1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，以及分類討論思想與創新意識等．）
解：（1）因為，所以，所以．   1分
由及圓的性質，可知四邊形是正方形，所以．
因為，所以，所以．3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．                      4分
（2）方法1：因為，
所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為．   5分
因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，                 6分
所以聯立方程組                  7分
消去，，即得直線的方程為．                  8分
方法2：設，已知點，
則，．
因為，所以，即．                5分

整理得．
因為，所以．                       6分
因為，，根據平面幾何知識可知，．
因為，所以．                           7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．                        8分
方法3：設，已知點，
則，．
因為，所以，即．                5分
整理得．
因為，所以．  6分
這說明點在直線上．    7分
同理點也在直線上．
所以就是直線的方程．  8分
（3）由（2）知，直線的方程為，
所以點到直線的距離為．
因為，
所以三角形的面積．              10分
以下給出求三角形的面積的三種方法：
方法1：因為點在雙曲線上，
所以，即．
設，
所以．                                 11分
因為，
所以當時，，當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減．              12分
當，即時，，             13分
當，即時，．
綜上可知，當時，；當時，．   14分
方法2：設，則．                11分
因為點在雙曲線上，即，即．
所以．
令，則．
所以當時，，當時，．
所以在上單調遞減，在上單調遞增．             12分
當，即時，，              13分
當，即時，．
綜上可知，當時，；當時，．   14分
方法3：設，則．             11分
因為點在雙曲線上，即，即．
所以．
令，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．            12分
因為，所以，
當，即時，，此時．
13分
當，即時，，此時．
綜上可知，當時，；當時，．   14分

略