Question

【題目】設動點P在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線BD1上，記 ．當∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（ ，1）
【解析】解：由題設，建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣xyz，則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）
∴ =（1，1，﹣1），∴ =（λ，λ，﹣λ），
∴ = + =（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）
= + =（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）
顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0
∴
∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得 ＜λ＜1
因此，λ的取值范圍是（ ，1）
所以答案是：（ ，1）

【考點精析】關于本題考查的用空間向量求直線間的夾角、距離，需要了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．