Question

如圖，A，B，C是圓O上三個點，AD是∠BAC的平分線，交圓O于D，過B做直線BE交AD延長線于E，使BD平分∠EBC．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的長．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓,推理和證明

分析：（1）連接BO并延長交圓O于G，連接GC，由已知條件推導(dǎo)出∠GBC+∠EBC=90°，從而得到OB⊥BE．由此能證明BE是圓O的切線．
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，從而得到AE•BD=AB•BE，由此利用切割線定理能求出DE．

解答： （1）證明：連接BO并延長交圓O于G，連接GC，
∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，
∴∠EBC=∠BAC．
又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，
∵∠GBC+∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．
∴BE是圓O的切線．…（5分）
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，

BE

AE

=

BD

AB

，
∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，
∴BE=

9

2

．…（8分）
由切割線定理得BE²=DE•AE，
∴DE=

27

8

．…（10分）

點評：本題考查圓的切線的證明，考查線段長的求法，是非曲直中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．