Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），離心率e=

2

2

，A，B是橢圓上的兩動點，動點P滿足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中實數(shù)λ為常數(shù)）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)λ=1，且直線AB過F點且垂直于x軸時，求過A，B，P三點的外接圓方程；
（3）若直線OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，問是否存在常數(shù)λ，使得動點P滿足PG+PQ=4，其中G（-

2

，0），Q（

2

，0），若存在求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將已知條件代入離心率e=

c

a

，a²=b²+c²得a，b的值，方程可求；
（2）由直線AB過F點且垂直于x軸，可得AB的方程，將x=1代入橢圓方程易得A，B的坐標(biāo)，繼而求出P點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出圓的一般式方程；
（3）總體思路是：先假設(shè)λ存在，然后想辦法構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程．即先將條件“直線OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，動點P滿足

OP

=

OA

+λ

OB

，”結(jié)合一下，可以找到一個關(guān)于x₁，x₂，y₁，y₂，λ的關(guān)系式，化簡后，再結(jié)合“P滿足PG+PQ=4，其中G（-

2

，0），Q（

2

，0）”可看出，P的軌跡應(yīng)該是一個橢圓，再利用橢圓的定義最終得到關(guān)于λ的方程，解之即可．

解答： 解：（ I）有題設(shè)可知：

c=1 c a = 2 2

∴a=

2

又b²=a²-c²，∴b²=1，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1
（2）由題意可知直線AB方程為x=1，代入

x2

2

+y2=1解得A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，P(2，0)，
設(shè)圓的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A，B，P三點代入得

1+( 2 2 )2+D+ 2 2 E+F=0 1+(- 2 2 )2+D- 2 2 E+F=0 4+2D+F=0

，
解得D=-

5

2

，E=0，F(xiàn)=1，
所以圓的方程是x2+y2-

5

2

x+1=0
（3）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

OP

=

OA

+λ

OB

得
（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．
∵點A、B在橢圓x²+2y²=2上，
∴x

2 1

+2y

2 1

=2，x

2 2

+2y

2 2

+=2，故x²+2y²=（x

2 1

+λ²x

2 2

+2λx₁x₂）+2（y

2 1

+λ²y

2 2

+2λy₁y₂）=（x

2 1

+2y

2 1

）+λ²（x

2 2

+2yx）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=2+2λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）．
設(shè)k_OA，k_OB分別為直線OA，OB的斜率，
由題設(shè)條件知k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，∴x²+2y²=2+2λ²．即

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1
∴P點是橢圓

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1上的點，
設(shè)該橢圓的左、右焦點為G，Q，則由橢圓的定義PG+PQ=4為定值．
所以4=2

2+2λ2

，∴λ=±1，
此時兩焦點的坐標(biāo)為 G（-

2

，0），Q(

2

，0)
∴存在λ=±1使得PG+PQ=4

點評：橢圓的方程一般采用定義結(jié)合離心率公式、和a，b，c的關(guān)系式來求；圓的方程主要是待定系數(shù)法，知道點的坐標(biāo)或者與半徑，圓心有關(guān)的條件，將之代入圓的方程得到關(guān)于系數(shù)的方程組；第三問有一定難度，但一般思路仍然是將已知條件坐標(biāo)化，然后消元、化簡，要充分理解所給條件的意義，比如本題中的條件“動點P滿足PG+PQ=4，其中G（-

2

，0），Q（

2

，0）”就是橢圓的定義，這是最終解決本題的關(guān)鍵．