Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極值點，試研究函數(shù)的單調(diào)性，并求的極值；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）現(xiàn)求，再由是的極值點，求得的值，最后根據(jù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值；

（2）將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求曲線的最小值問題，對分類討論，即可確定實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）函數(shù)，定義域為，則，

若是的極值點，則，即.

∴， .

令，則，令，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得極小值，極小值為.

（2）若在上恒成立，即.

由（1）知，

（i）當時，即在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，

則，得.

（ii）當時， 時， ，

時， ，

若，即時， 在上恒成立，

則在上單調(diào)遞減，∴，即時恒成立，

若，即時， 時， ， 時， .

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則，得.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.