Question

判斷下列函數的奇偶性．
（1）y=lg

tanx+1

tanx-1

；
（2）f(x)=lg(sinx+

1+sin2x

)．

Answer 1

分析：（1） 自變量的取值范圍：x＞kπ+

π

4

或 x＜kπ-

π

4

，，定義域關于原點對稱，再利用對數的運算性質，得到g（-x）=-g（x），g（x）是奇函數．
（2）函數定義域是實數集，關于原點對稱，再利用對數的運算性質，f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數．

解答：解：（1）由題意知，

tanx+1

tanx-1

＞0，∴tanx＞1 或tanx＜-1，∴x＞kπ+

π

4

或 x＜kπ-

π

4

，
定義域關于原點對稱，設g（x）=y=lg

tanx+1

tanx-1

；  則 g（-x）=lg

tan(-x)+1

tan(-x)-1

=lg

tanx-1

tanx+1

=-lg

tanx+1

tanx-1

=-g（x），∴g（x）=y=lg

tanx+1

tanx-1

是奇函數．
（2）函數定義域是實數集，f（-x）=lg（sin（-x）+

1+sin2x

）=lg（

1+sin2x

-sinx）
=lg

1

sinx+ 1+sin2x

=-lg（sinx+

1+sin2x

）=-f（x）．∴函數f(x)=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函數．

點評：本題考查判斷函數奇偶性的方法：先看函數的定義域手否關于原點對稱，再看f（-x）與f（x）的關系，依據奇偶函數的定義進行判斷．