Question

判斷下列函數的奇偶性，并說明理由．
（1）f(x)=

1-x2

|x+3|-3

；  （2）f（x）=x²-|x-a|+2（a∈R）．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱，故f（x）=

1-x2

x

，再由f（-x）=

1-x2

-x

=-f（x），可得f（x）是奇函數．
（2）問考查函數的奇偶性，用特殊值法判斷函數及不是奇函數又不是偶函數；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1-x2

|x+3|-3

，
∴

1-x2 ≥ 0 | x+3| ≠ 3

，解得-1≤x≤1，
故函數f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
∴f(x)=

1-x2

|x+3|-3

=

1-x2

x+3-3

=

1-x2

x

．
又f（-x）=

1-x2

-x

=-f（x），故f（x）是奇函數．

（2）函數f（x）=x²-|x-a|+2的定義域為R，
①當a=0時，函數f（-x）=（-x）²-|x|+2=f（x）
此時，f（x）為偶函數；
②當a≠0時，f（a）=a²+2，f（-a）=a²-2|a|+2，-f（a）=-a²-2
得：f（a）≠f（-a），-f（a）≠f（-a）
此時f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．

點評：本題主要考查判斷函數的奇偶性的方法，注意應先考查函數的定義域是否關于原點對稱，再看f（-x）與f（x）的關系，從而根據函數的奇偶性的定義，做出判斷．當函數的定義域不關于原點對稱時，此函數一定是非奇非偶函數，屬于基礎題．