Question

（2009•成都二模）已知函數f（x）=-

1

3

x³+x²+b，g（x）=

x+a

x2+1

，其中x∈R
（I）當b=

2

3

時，若函數F(x)=

f(x)(x≤2) g(x)(x＞2)

為R上的連續函數，求F（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=-1時，若對任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由連續的定義可知，函數F（x）在x=2處的極限存在且極限與F（2）的值相等，可求a，利用導數判斷函數的單調性即可
（II）對任意x₁，x₂∈[-1，2]，g（x₁）＜f（x₂）恒成立?g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]，利用導數分別求解函數g（x）的最大值與f（x）的最小值，從而可求b的范圍

解答：解：（I）當b=

2

3

時，函數F（x）為R上的連續函數，
∴

lim

x→2+

g(x)=

2+a

5

=f(2)=2
∴a=8
∵f′（x）=-x²+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴當x≤2時，函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，2）上單調遞增．
又g(x)=

x+8

x2+1

，g′(x)=

-x2-16x+1

(x2+1)2

當x∈（2，+∞時，g′（x）＜0恒成立，
∴當x＞2時，函數g（x）在（2，+∞）上單調遞減．
綜上可知，函數F（x）的單調遞增區間為（0，2），單調遞減區間為（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）對任意x₁，x₂∈[-1，2]，f（x₁）＜f（x₂）恒成立
g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴g(x)=

x-1

x2+1

此時g′（x）＞0即-x²+2x+1＞0
∴1-

2

＜x＜1+

2

當x∈[-1，2]時，函數g（x）在[-1，1-

2

]上單調遞減，在[1-

2

，2]上單調遞增．
而g(-1)=-1，g(2)=

1

5

∴當x∈[-1，2]時，函數g（x）的最大值為g(2)=

1

5

．
結合（I）中函數f（x）的單調性可知：當x∈[-1，2]時，f（x）_min=f（0）=b
∴g（x）_max＜f（x）_min
∴b＞

1

5

即實數b的取值范圍為b∈(

1

5

，+∞)

點評：本題主要考查了函數連續條件的應用，解題的關鍵是熟練應用基本定義，及利用導數求解函數的單調區間及最值，函數的恒成立與函數的最值的相互轉化