Question

（2009•成都二模）質檢部門將對12個廠家生產的嬰幼兒奶粉進行質量抽檢，若被抽檢廠家的奶粉經檢驗合格，則該廠家的奶粉即可投放市場；若檢驗不合格，則該廠家的奶粉將不能投放市場且作廢品處理．假定這12個廠家中只有2個廠家的奶粉存在質量問題（即檢驗不能合格），但不知道是哪兩個廠家的奶粉．
（I）從中任意選取3個廠家的奶粉進行檢驗，求至少有2個廠家的奶粉檢驗合格的概率；
（Ⅱ）每次從中任意抽取一個廠家的奶粉進行檢驗（抽檢不重復），記首次抽檢到合格奶粉時已經檢驗出奶粉存在質量問題的廠家個數為隨即變量ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據隨意任意選取3個廠家進行抽檢，至少有2個廠家的奶粉檢驗合格有兩種情形；根據等可能事件的概率公式進行計算，最后求出它們的和得到結果．
（II）由題意得到隨即變量ξ的取值為0，1，2．根據變量對應的事件求出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（I）任意選取3個廠家進行抽檢，至少有2個廠家的奶粉檢驗合格有兩種情形；
一是選取抽檢的3個廠家中，恰有2個廠家的奶粉合格，此時的概率為
P₁=

C 2 10 C 1 2

C 3 12

=

9

22

二是選取抽檢的3個廠家的奶粉均合格，此時的概率為P₂=

C 3 10

C 3 12

=

12

22

；
故所求的概率為P=P₁+P₂=

21

22

（Ⅱ）由題意，隨即變量ξ的取值為0，1，2．
∴P（ξ=0）=

10

12

=

5

6

，
P（ξ=1）=

2

12

×

10

11

=

5

33

，
P（ξ=2）=

2

12

×

1

11

=

1

66

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	5 6	5 33	1 66

∴ξ的數學期望Eξ=0×

5

6

+1×

5

33

+2×

1

66

=

2

11

點評：本題主要考查等可能事件的概率，相互獨立事件、互斥事件的概率，離散型隨機變量的分布列及數學期望等基礎知識，同時考查運用概率知識分析問題和解決問題的能力．