Question

下表給出一個“等差數陣”：

4	7	(　)	(　)	(　)	……	a1j	……
4	12	(　)	(　)	(　)	……	a2j	……
(　)	(　)	(　)	(　)	(　)	……	a3j	……
(　)	(　)	(　)	(　)	(　)	……	a4j	……
……	……	……	……	……	……	……	……
ai1	ai2	ai3	ai4	ai5	……	aij	……
……	……	……	……	……	……	……	……

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數．

（1）寫出a₄₅的值；

（2）寫出a_ij的計算公式；

（3）寫出2008這個數在等差數陣中所在的一個位置；

（4）證明：正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．本小題主要考查等差數列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）a45=49 （2）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列：a1j=4+3(j-1) 第二行是首項為7，公差為5的等差數列：a2j=7+5(j-1)，…… 第i行是首項為4+3(i-1)，公差為2i+1的等差數列，因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j （3）要找2008在該等差數陣中的位置，也就是要找正整數i、j，使得 2ij+i+j=2008所以i=當i=1時．得j=669 所以2008在等差數陣中的一個位置是第1行第669列． （4）必要性：若N在該等差數陣中，則存在正整數i、j使得N=i(2j+1)+j 從而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1) 即正整數2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積． 充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2N+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k、l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)，從而N=k(2l+1)+l=akl 可見N在該等差數陣中，綜上所述，正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積．