Question

下表給出一個“等差數陣”：

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第i行第j列的數．
（I）寫出a₄₅的值；
（II）寫出a_ij的計算公式以及2008這個數在等差數陣中所在的一個位置．

Answer 1

解：（I）第一列第四個數：4+3×（4-1）=13，第四行第五個數是13+9×（5-1）=49，即a₄₅=49
（II）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列：a_1j=4+3（j-1）第二行是首項為7，公差為5的等差數列：a_2j=7+5（j-1）
第i行是首項為4+3（i-1），公差為2i+1的等差數列，
因此a_ij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1）
=2ij+i+j
要找2008在該等差數陣中的位置，也就是要找正整數i，j，使得2ij+i+j=2008所以
當i=1時，得j=669
所以2008在等差數陣中的一個位置是第1行第669列．
分析：（I）由等差數列先求出第一列第四項，再由等差數列求第四行第五項；
（II）由（I）尋求規律，第一列的第i項，作為第i行的首項，公差為2i+1，進而由等差數列的通項公式求得a_ij．
點評：本小題主要考查等差數列等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．