Question

【題目】已知函數，且存在，使得，設，，，．

（Ⅰ）證明單調遞增；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）記，其前項和為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出，然后通過證明恒成立即可；

（Ⅱ）利用數學歸納法，即首先驗證時不等式是否成立，然后假設當時不等式成立，再通過驗證時不等式是否成立使問題得證；

（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，先放縮再結合等比數列的求和公式即可證明．

（Ⅰ）由函數，則，

所以是上的單調遞增函數．

（Ⅱ）因為，即．

又因為是單調遞增函數，可得，即．

又由，，

綜上可得．

用數學歸納法證明如下：

①當時，上面已證明成立．

②假設當時，有，

則當時，由是單調遞增函數，可得，

所以，

由①②知對一切都有．

（Ⅲ）因為．

由（Ⅱ）知，，則，，

所以，

因為，所以，

所以．

綜上可得．