Question

如圖，在組合體中，ABCD—A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P—ABCD是一個四棱錐．AB=2，BC=3，點P平面CC₁D₁D，且PC=PD=．

（1）證明：PD平面PBC；
（2）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（3）若，當a為何值時，PC//平面．

Answer 1

（1）先證，再證，根據線面垂直的判定定理可證結論
（2）（3）當時，
或建立空間直角坐標系可以用空間向量解決

解析試題分析：方法一：(1)因為，，
所以為等腰直角三角形，所以． 
因為是一個長方體，所以，
而，所以，所以．
因為垂直于平面內的兩條相交直線和，
由線面垂直的判定定理，可得．

(2)過點在平面作于，連接．
因為，所以，
所以就是與平面所成的角．
因為，，所以．    
所以與平面所成的角的正切值為．          
(3)當時，．           
當時，四邊形是一個正方形，所以，
而，所以，所以． 
而，與在同一個平面內，所以． 
而，所以，所以．
方法二：(1)證明：如圖建立空間直角坐標系，設棱長，
則有，，，．                            
于是，，，
所以，．
所以垂直于平面內的兩條相交直線和，
由線面垂直的判定定理，可得．   

(2)解：，所以，而平面的一個法向量為．
所以．所以