Question

（2013•湖北）設n是正整數，r為正有理數．
（1）求函數f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（2）證明：；
（3）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如．令的值．
（參考數據：．

Answer 1

（1）0    （2）見解析    （3）211

（1）由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）^r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）^r﹣1]，
令f'（x）=0，解得x=0．
當﹣1＜x＜0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）內是減函數；
當x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內是增函數．
故函數f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．
（2）由（1），當x∈（﹣1，+∞）時，有f（x）≥f（0）=0，
即（1+x）^r+1≥1+（r+1）x，且等號當且僅當x=0時成立，
故當x＞﹣1且x≠0，有（1+x）^r+1＞1+（r+1）x，①
在①中，令（這時x＞﹣1且x≠0），得．
上式兩邊同乘n^r+1，得（n+1）^r+1＞n^r+1+n^r（r+1），
即，②
當n＞1時，在①中令（這時x＞﹣1且x≠0），
類似可得，③
且當n=1時，③也成立．
綜合②，③得，④
（3）在④中，令，n分別取值81，82，83，…，125，
得，，，…，
將以上各式相加，并整理得．
代入數據計算，可得
由[S]的定義，得[S]=211．