Question

將B=

π

3

邊長為1的菱形ABCD沿對角線AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D．若θ∈[

π

3

，

2π

3

]，M，N分別為AC，BD的中點，則下列說法中正確的有

 

①AC⊥MN   ②DM與平面ABC所成角為θ   ③線段MN的最大值是

3

4

，最小值是

3

4

    ④當時θ=

π

2

時，BC與AD所成角等于

π

2

．

Answer 1

分析：根據菱形的性質以及翻折后一些量之間的關系可得①正確；由題意可得∠BMD=θ，并且得到∠BMD為DM與平面ABC所成角，所以②正確；根據題意折后兩條對角線AC、BD之間的距離為NM的長，再根據解三角形的有關知識可得答案③正確；根據條件可得：BC⊥平面ACD，這與BM⊥平面ACD相矛盾，所以④錯誤．

解答：解：翻折后如圖所示：

因為BM⊥AC，DM⊥AC，所以AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN．
所以①正確．
因為AC⊥平面BMD，
所以AC⊥BM，AC⊥DM，并且平面BMD⊥平面ABC，
所以∠BMD=θ，∠BMD為DM與平面ABC所成角，
所以DM與平面ABC所成角為θ．
所以②正確．
又因為BM=DM，
所以MN⊥BD．
所以折后兩條對角線AC、BD之間的距離為NM的長，
在△BMD中，∠BMD=θ，BM=DM=

3

2

，
當θ=

2π

3

時，MN的最小值為

3

4

，
當θ=

π

3

時，MN的最大值為

3

4

．
所以③正確．
因為當θ=

π

2

時，則有∠BMD=90°，
所以BM⊥平面ACD，MD⊥平面ABC，
所以MD⊥BC．
若BC與AD所成角等于

π

2

，即BC⊥AD，
所以BC⊥平面ACD，
這與BM⊥平面ACD相矛盾．
所以④錯誤．
故答案為①②③．

點評：本題主要考查二面角、線面角問題，解決此類問題一般先作出空間角，再通過解三角形的有關知識解決問題，本題并且也考查了異面直線的夾角與距離問題，此題屬于中檔題型．