Question

（2013•涼山州二模）圖1是邊長為1的菱形，∠DAB=60°，現沿BD將△ABD翻折起，得四面體A′-BDC（圖2），若二面角A′-BD-C的平面角為α（0＜a＜π），給出以下四個命題：
①BD⊥A'C；
②A'C的長的范圍是（0，

3

）；
③當A'B⊥DC時，則cosα=

1

3

；
④當四面體A'-BDC體積最大時，A'-BDC的外接球的表面積是

5π

3

．
其中真命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①取BD的中點E，連結A'E，EC，如圖，則A'E⊥BD，EC⊥BD，利用線面垂直的判定得出BD⊥平面A'EC，從而得出①正確；②當α→0時，A'C→0，當α→π時，A'C→AC=

3

，從而得出A'C的長的范圍；③當A'B⊥DC時，此時四面體A′-BDC是一個正四面體，設頂點A'在底面上的射影是Q，利用解直角三角形可求出二面角A′-BD-C的平面角的余弦值；④當四面體A'-BDC體積最大時，側面A'BD⊥底面BCD，過底面BCD的中心Q作底面的垂線與側面A'BD的中心作側面A'BD的垂線的交點O即為A'-BDC的外接球的球心，利用直角三角形可得出A'-BDC的外接球的半徑，從而得出答案．

解答：解：①取BD的中點E，連結A'E，EC，如圖，則A'E⊥BD，EC⊥BD，∴BD⊥平面A'EC，A'C?平面A'EC，
∴BD⊥A'C；①正確；
②當α→0時，A'C→0，當α→π時，A'C→AC=

3

，
∴A'C的長的范圍是（0，

3

）；正確；
③當A'B⊥DC時，此時四面體A′-BDC是一個正四面體，設頂點A'在底面上的射影是Q，則Q是三角形BCD的中心，
在直角三角形A'EQ中，則cosα=cos∠A′EC=

EQ

A′E

=

EQ

CE

=

1

3

，
∴cosα=

1

3

；③正確；
④當四面體A'-BDC體積最大時，側面A'BD⊥底面BCD，如圖，過底面BCD的中心Q作底面的垂線與側面A'BD的中心作側面A'BD的垂線的交點O即為A'-BDC的外接球的球心，
從而R²=OC²=OQ²+CQ²=(

3

2

×

1

3

)2+(

3

3

)2=

5

12

，
A'-BDC的外接球的表面積是4πR²=

5π

3

．正確．
故選D．

點評：本題主要考查點到面的距離計算以及折疊問題．在解決折疊問題時，一定要注意分析出哪些量發生了變化，又有哪些量沒有發生變化．