Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，左準線為l，若在橢圓上存在點P，使得當PQ⊥l于點Q時，四邊形PQF₁F₂為平行四邊形，則此橢圓的離心率e的取值范圍是

（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：PQF₁F₂為平行四邊形對邊相等．推出PQ=F₁F₂=2C．設P（x₁，y₁）． P在X負半軸，利用P的橫坐標的范圍，得到關系式，即可得到橢圓離心率的范圍．

解答：解：因為PQF₁F₂為平行四邊形，對邊相等．所以，PQ=F₁F₂，所以PQ=2C．
設P（x₁，y₁）． P在X負半軸，
-x₁=

a2

c

-2c＜a，
所以2c²+ac-a²＞0，
即2e²+e-1＞0，
解得e＞

1

2

，
因為橢圓e取值范圍是（0，1），
所以此題答案為（

1

2

，1）．
故答案為：（

1

2

，1）．

點評：本題是中檔題，考查橢圓的基本性質，找出P的橫坐標與橢圓長半軸的關系是解題的關鍵，考查計算能力，轉化思想．