Question

設P是橢圓

x2

a2

+y2=1   (a＞1)短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：依題意可知|PQ|=

x2+(y-1)2

，因為Q在橢圓上，所以x²=a²（1-y²），|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-

1

1-a2

）²-

1

1-a2

+1+a²．由此分類討論進行求解．

解答：解：由已知得到P（0，1）或P（0，-1）
由于對稱性，不妨取P（0，1）
設Q（x，y）是橢圓上的任一點，
則|PQ|=

x2+(y-1)2

，①
又因為Q在橢圓上，
所以，x²=a²（1-y²），
|PQ|²=a²（1-y²）+y²-2y+1=（1-a²）y²-2y+1+a²
=（1-a²）（y-

1

1-a2

）²-

1

1-a2

+1+a²．②
因為|y|≤1，a＞1，若a≥

2

，則|

1

1-a2

|≤1，
所以如果它包括對稱軸的x的取值，那么就是頂點上取得最大值，
即當-1≤

1

1-a2

≤1時，
在y=

1

1-a2

時，|PQ|取最大值

a2 a2-1

a2-1

；
如果對稱軸不在y的取值范圍內的話，那么根據圖象給出的單調性來求解．
即當

1

1-a2

＜-1時，則當y=-1時，|PQ|取最大值2．

點評：本題考查橢圓的基本性質及其應用，解題時要認真審題，細心計算．