Question

正實數數列中,,且成等差數列.
(1) 證明數列中有無窮多項為無理數；
(2)當為何值時，為整數，并求出使的所有整數項的和.

Answer 1

（）時，為整數；

考查等差數列及數列分組求和知識
證明：（1）由已知有：，從而，
方法一：取，則（）
用反證法證明這些都是無理數.
假設為有理數，則必為正整數，且，
故.,與矛盾，
所以（）都是無理數，即數列中有無窮多項為無理數;
方法二：因為，當的末位數字是時，的末位數字是和，它不是整數的平方，也不是既約分數的平方，故此時不是有理數，因這種有無窮多，故這種無理項也有無窮多．
(2) 要使為整數，由可知：
同為偶數，且其中一個必為3的倍數，所以有或
當時，有（）
又必為偶數，所以（）滿足
即（）時，為整數；
同理有（）
也滿足，即（）時，為整數；
顯然和（）是數列中的不同項；
所以當（）和（）時，為整數；
由（）有，
由（）有.
設中滿足的所有整數項的和為，則