Question

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁(底面為正三角形,且A₁A∥B₁B∥C₁C,A₁A⊥AB,A₁A⊥AC)中,若AB=BB₁,則AB₁與C₁B所成的角的大小為（    ）

A.60°              B.90°          C.105°           D.75°

Answer 1

解析一:設(shè)AB、BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)依次為P、H、F,連結(jié)PH、HF,顯然有PHAB₁, HFC₁B,

則∠PHF即為異面直線AB₁與C₁B所成的角.

連結(jié)PF,并設(shè)BB₁=1,則正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為,不難求得PH=HF=.

取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)PE、EF,易知△PEF是直角三角形,在Rt△PEF中, PF²=,顯然有PH²+HF²=PF².

故∠PHF=90°.故選B.

解析二:如圖,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,作DD₁AA₁,連結(jié)B₁D₁、BD₁.

∵ABB₁D₁,

∴AB₁BD₁.

故∠C₁BD₁即為所求異面直線所成的角.

易求得BC₁=BD₁=,C₁D₁=2××sin60°=.

又∵BC₁²+BD₁²=C₁D₁²,

∴∠C₁BD₁=90°.

故選B.

解析三:設(shè)法把BC₁的B點(diǎn)平移到B₁處,為使平移后的位置確定且易于計(jì)算,可在已知三棱柱的下面作一個(gè)同樣的三棱柱.

作直三棱柱A₁B₁C₁—A₂B₂C₂,使C₁為CC₂的中點(diǎn)(如圖所示),連結(jié)B₁C₂、AC₂,

∵BB₁C₁C₂,

∴C₁BC₂B₁,則∠AB₁C₂即為所求異面直線所成的角.

易求得∠AB₁C₂=90°.故選B.

答案:B