Question

【題目】已知拋物線的焦點為，若過且傾斜角為的直線交于，兩點，滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）若為上動點，，在軸上，圓內切于，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出拋物線的焦點，設出直線的方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和拋物線的定義，可得，進而得到拋物線方程；（2）設，，，不妨設，直線的方程為，由直線與圓相切的條件：，化簡整理，結合韋達定理以及三角形的面積公式，運用基本不等式即可求得最小值.

（1）拋物線的焦點為，

則過點且斜率為1的直線方程為，

聯立拋物線方程，

消去得：，

設，則，

由拋物線的定義可得，解得，

所以拋物線的方程為

（2）設，，，

不妨設，

化簡得：，

圓心到直線的距離為1，

故，

即，不難發現，

上式又可化為，

同理有，

所以可以看做關于的一元二次方程的兩個實數根，

，，

由條件：

，

當且僅當時取等號.

∴面積的最小值為8.