Question

離心率為

2

2

的橢圓C₁的長軸兩端點分別是雙曲線C₂：x2-

y2

4

=1的兩焦點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）直線y=x+m與橢圓C₁交于A，B兩點，與雙曲線C₂兩條漸近線交于P，Q兩點，且P，Q在A，B之間，使|AP|，|PQ|，|QB|成等差數列，求m的值．

Answer 1

分析：（1）橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根據題意列方程組，解出即可；
（2）由|AP|，|PQ|，|QB|成等差數列，可得|AP|+|QB|=2|PQ|，則|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，利用弦長公式表示出|AB|，根據兩點間距離公式表示出|PQ|，解此關于m方程即可．

解答：解：（1）設橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意知a²=1+4=5，所以a=

5

，
又e=

2

2

，所以

c

5

=

2

2

，解得c=

10

2

，則b²=a²-c²=5-

5

2

=

5

2

．
故橢圓C₁的方程為

x2

5

+

2y2

5

=1．
（2）由

y=x+m x2 5 + 2y2 5 =1

，得3x²+4mx+2m²-5=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2m2-5

3

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

16 9 m2- 4(2m2-5) 3

=

2

•

60-8m2 9

．
雙曲線的漸近線方程為：y=2x，y=-2x，
由

y=x+m y=2x

解得

x=m y=2m

，由

y=x+m y=-2x

解得

x=- m 3 y= 2 3 m

，
所以兩交點P，Q的坐標為（m，2m），（-

m

3

，

2

3

m），
|PQ|=

(m+ m 3 )2+(2m- 2 3 m)2

=

32 9 m2

，
因為|AP|，|PQ|，|QB|成等差數列，所以|AP|+|QB|=2|PQ|，所以|AB|=|AP|+|PQ|+|QB|=3|PQ|，
故

2

•

60-8m2 9

=3

32 9 m2

，解得m=±

570 38

．
故m的值為±

570 38

．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求解及直線與圓錐曲線的位置關系問題，考查數形結合思想，考查學生分析問題解決問題的能力，直線與圓錐曲線的位置關系問題是解析幾何中重要題型，弦長公式、兩點間距離公式、韋達定理、判別式等解決該類問題的基礎知識，須熟練掌握．