Question

已知離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（

6

，1），O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若直線l是圓O：x²+y²=

8

3

的一條切線，試證明∠AOB=

π

2

．它的逆命題成立嗎？若成立，請給出證明；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M（

6

，1），且離心率為

2

2

，所以

c a = 2 2 a2=b2+c2 6 a2 + 1 b2 =1

，曲此能得到橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=kx+m，直線l與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線l與圓O相切得r=

|m|

1+k2

，聯立方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得x²+2（kx+m）²=8，再由根與系數的關系和根的判別能夠推導出∠AOB=

π

2

．逆命題：已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若∠AOB=

π

2

，則直線l是圓O：x²+y²=

8

3

的一條切線．結論成立．再進行證明．

解答：解：（1）因為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）過點M（

6

，1），且離心率為

2

2

，
所以

c a = 2 2 a2=b2+c2 6 a2 + 1 b2 =1

，
解得

a2=8 b2=4 c2=4

，
故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=kx+m，直線l與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l與圓O相切得r=

|m|

1+k2

，即r²=

m2

1+k2

=

8

3

．
聯立方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0．由方程根與系數的關系得：

x1+x2= 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

，
從而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
要證∠AOB=

π

2

，即

OA

⊥

OB

，只需證x₁x₂+y₁y₂=0，
即證

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，即證3m²-8k²-8=0，而

m2

1+k2

=

8

3

，
所以3m²-8k²-8=0成立．即∠AOB=

π

2

．
而當直線l的斜率不存在時，直線l為x=±

2 6

3

，
此時直線l與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

），
滿足

OA

⊥

OB

．綜上，有∠AOB=

π

2

．
逆命題：已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若∠AOB=

π

2

，則直線l是圓O：x²+y²=

8

3

的一條切線．結論成立．
證明：當直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx+m，直線l與橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，
得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，由方程根與系數的關系得：

x1+x2= 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

，
則y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

k2(2m2-8)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
由∠AOB=

π

2

知，

OA

⊥

OB

，
即x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
所以3m²-8k²-8=0．因為圓心到直線l的距離d=

|m|

1+k2

，
則d²=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，而r²=

8

3

，此時直線y=kx+m與圓O相切．
當直線l的斜率不存在時，由

OA

⊥

OB

可以計算得到直線l與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個交點為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或
（-

2 6

3

，±

2 6

2

），
此時直線l為x=±

2 6

3

．滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線與圓相切．
綜上，其逆命題成立．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化．