Question

（2012•德陽三模）已知離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點M(

6

，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知與圓x2+y2=

8

3

相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B，O為坐標原點，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點M(

6

，1)，建立方程，確定幾何量的值，即可得到橢圓C的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線l的斜率不存在時，l：x=±

2

3

6

，此時

OA

•

OB

=x12-y12=0
當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m由l于圓相切得3m²-8k²-8=0，將l代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的數量積公式，即可求得結論．

解答：解：（1）∵離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點M(

6

，1)．
∴

a2-b2

a2

=

1

2

，

6

a2

+

1

b2

=1
∴a²=8，b²=4
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線l的斜率不存在時，l：x=±

2

3

6

，此時x₁=x₂=±

2

3

6

，y₁=-y₂，
∴

OA

•

OB

=x12-y12=0
當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m
由l于圓相切得：

|m|

k2+1

=

2 2

3

∴3m²-8k²-8=0
將l代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-8k2-8

1+2k2

=0
綜上，

OA

•

OB

=0

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識，聯立方程，利用韋達定理解題是關鍵．