Question

【題目】已知函數.

（1）求證：對任意實數，都有；

（2）若，是否存在整數，使得在上，恒有成立？若存在，請求出的最大值；若不存在，請說明理由.（）

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

（1）利用導數求得 ，令，再利用導數即可求得，問題得證。

（2）整理得：，令：，由得，對是否大于分類， 當時，即時，利用導數即可證得，當時，利用導數即可求得，要使不等式恒成立轉化成成立，令，利用導數即可求得，，即可求得，問題得解。

解：（1）證明：由已知易得，所以

令得：

顯然，時，<0，函數f（x）單調遞減；

時，>0，函數f（x）單調遞增

所以

令，則由得

時，>0，函數t（）單調遞增；

時，<0，函數t（）單調遞減

所以，即結論成立.

（2）由題設化簡可得

令，所以

由=0得

①若，即時，在上，有，故函數單調遞增

所以

②若，即時，

在上，有，故函數在上單調遞減

在上，有.故函數在上單調遞增

所以，在上，

故欲使，只需即可

令

由得

所以，時，，即單調遞減

又

故