Question

（本小題滿分12分）
如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面AA1C1C是面積為的菱形，∠ACC1為銳角，側面ABB1A1⊥側面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1.

（1）求證：AA1⊥BC1；
（2） 求三棱錐A1-ABC的體積．

Answer 1

(1) 略
(2)

（1）證明 ： 因為四邊形AA1C1C是菱形，所以有AA1=A1C1=C1C=CA=1.從而知△AA1B是等邊三角形. 設D是AA­1的中點、連結BD，C1D，則BD⊥AA1，由 =  
知C1到AA1的距離為∠AA1C1=60°，所以△AA1C1是等邊三角形，
且C1D⊥AA1，所以AA1⊥平面BC1D. 又BC1平面BC1D，故AA1⊥BC1.
由（1）知BD⊥AA1，又側面ABB1A1⊥側面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，
即B到平面AA1C1C 的距離為BD. 又 =，BD=
所以 = =·BD=××=
故三棱錐A1-ABC的體積為