Question

如圖，在長方體中，，且.

（Ⅰ）求證：對任意，總有；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明略
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解：（Ⅰ）如圖，以為坐標原點，分別以
所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
不妨設.
則,,,
,,,
從而,，
所以,即；能                   -----------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及得，，
設平面的法向量為，則
，解方程組得，
從而可取平面的法向量為，
又取平面的法向量為，且設二面角P-AB1-B為，
所以；           --------------------------------------------9分
（Ⅲ）假設存在實數滿足條件，由題結合圖形，只需滿足向量分別與向量的所成角相同，即有，
即，解得，所以存在滿足題意的實數，使得在平面上的射影平分.--------14分