Question

（本小題滿分12分）
在平面內，不等式確定的平面區域為，不等式組確定的平面區域為.
（Ⅰ）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”. 在區域任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域的概率；
（Ⅱ）在區域每次任取個點，連續取次，得到個點，記這個點在區域的個數為，求的分布列和數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ））.

（1）畫出平面區域和平面區域.可分別找到區域內的整點個數，由概率公式計算出恰有
2個整點在區域的概率；（2）本題屬于幾何概型，先求出平面區域的面積和區域與區域相交部
分的面積，由幾何概型的概率公式得在區域任取1個點，則該點在區域的概率的值，又隨機變量的可能取值為：.根據獨立重復試驗可分別求出對應的概率，列出分布列，根據期望公式計算出的數學期望．
（Ⅰ）依題可知平面區域的整點為：共有13個，上述整點在平面區域的為：共有3個，
∴.    ……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）依題可得，平面區域的面積為，
平面區域與平面區域相交部分的面積為.
（設扇形區域中心角為，則得，也可用向量的夾角公式求）.
在區域任取1個點，則該點在區域的概率為，隨機變量的可能取值為：.
，         ，
，  ，
∴的分布列為

	0	1	2	3

∴的數學期望：.  ………………………（12分）
（或者：～，故）.