Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2滿足該式
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n…（5分）
（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）…（7分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
則3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②…（9分）
①-②得，-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=-n×3ⁿ⁺¹
∴H_n=，…（11分）
∴數列{c_n}的前n項和T_n=+…（12分）
分析：（Ⅰ）當n=1時，可求得a₁=S₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，驗證a₁=2是否滿足滿足上式即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由于c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，于是T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），利用錯位相減法即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查數列的求和，著重考查數列的通項的求法及由等比數列與等差數列對應項之積構成的數列的求和，突出錯位相減法求和的考查，屬于中檔題．