Question

【題目】已知直線，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.

（1）求圓的方程；

（2）若直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)（在軸上方，在軸下方），問在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得軸平分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）由于圓心在軸上，故可設(shè)圓心的坐標(biāo)，然后利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解方程就可以求出圓心為原點(diǎn)，進(jìn)而求得圓的方程；（2）當(dāng)直線軸時(shí)，軸平分，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，，根據(jù)軸平分，，代入根與系數(shù)關(guān)系化簡后可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

試題解析：

（1）設(shè)圓心，則或（舍），所以圓.

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，軸平分，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

，，由

得：，∴，，

若軸平分，則

，

所以當(dāng)點(diǎn)時(shí)，能使得總成立.