Question

【題目】已知函數的圖象關于原點對稱.

（1）求實數的值；

（2）用定義法判斷函數在上的單調性；

（3）若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因為的圖象關于原點對稱且，所以是上的奇函數，由，即可求解實數的值；（2）利用函數單調性的定義，即可證明函數為單調遞增函數；（3）由函數是奇函數，得，又由為增函數，得, 轉化為“存在，使得不等式成立.” 即可求解實數的取值范圍.

試題解析：（1）因為的圖象關于原點對稱且，

所以是上的奇函數，由，得，解得.

經檢驗，當時，是奇函數，故.

（2）任取，則, 所以,

所以

,所以，故函數在上單調遞增.

（3）由,可得.

又因為是奇函數，所以.

又因為在上單調遞增,所以, 即,

所以“存在，使得不等式成立.”

即“存在，使得不等式成立.”

令, 則, 所以.