Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓：，點，，點在圓上，.

（1）求圓的方程；

（2）直線與圓交于，兩點（點在軸上方），點是拋物線上的動點，點為的外心，求線段長度的最大值，并求出當線段長度最大時，外接圓的標準方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值為；

【解析】

（1）設，根據得到，轉化為坐標表示，得到，即，從而得到圓的方程；

（2）由得到、的坐標，表示出線段的中垂線，令，得到的外心的坐標，由在拋物線上得，從而得到，再由基本不等式，得到其最大值，確定出點坐標，再求出外接圓的半徑，得到所求圓的方程.

解：（1）設，則，

因為，所以

所以，

由上式得：，所以，所以圓的方程為.

（2）把代入圓的方程得，所以，，

作出線段的中垂線，則的外心為直線與軸的交點.

直線的方程為：.

當時，.

因為點在拋物線上，所以

所以.

由得，

所以，

.

當且僅當時，即時取到最大值.

此時點坐標為，所以外接圓的半徑，

所以外接圓的標準方程為.