Question

【題目】如圖，圓錐PO中，AB是圓O的直徑，且AB＝4，C是底面圓O上一點，且AC＝2，點D為半徑OB的中點，連接PD.

（1）求證：PC在平面APB內的射影是PD；

（2）若PA＝4，求底面圓心O到平面PBC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由題意推導出△BOC是正三角形，CD⊥OB，OP⊥CD，從而CD⊥平面PAB，即可得證；

（2）設點O到平面PBC的距離為d，由題意可得，，由，即可得解.

（1）證明：連接CD、OC，如圖：

∵AB＝4，，AC⊥BC，∴，

∵OB＝OC，∴△BOC是正三角形，

又D點是OB的中點，∴CD⊥OB，

又PO⊥平面ABC，∴OP⊥CD，

∵OP∩OB＝O，∴CD⊥平面PAB，

∴PC在平面APB內的射影是PD；

（2）由PA＝4，可知，PB＝PC＝4，

∴，，

∴，

設點O到平面PBC的距離為d，

則，解得，

∴底面圓心O到平面PBC的距離為.