Question

已知函數f(x)=(

1

3

x3+ax2+bx-

1

3

)ex（a∈R，b∈R）在區間（-1，0）上存在單調遞減區間，且f（x）=0三個不等實數根為1，α，β，且α＜β．
（1）證明：a＞-1
（3）在（1）的條件下，證明：α＜-1＜β
（6）當a=

1

3

時，x∈[-1，2]，求函數y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0可得b=-a，代入f（x）表達式，函數y=f（x）在（-1，0）上存在單調遞減區間，即f′（x）≤0x∈（-1，0）時有解，分離出參數轉化為函數最值問題可解；
（2）設f（x）=

1

3

(x-α)(x-1)(x-β)，展開后對比系數可得α，β與a的關系：αβ=1，α+β=-3a-1，結合a＞-1可證明結論；
（3）當a=

1

3

時可求得f′（x），利用導數可判斷f（x）在[-1，2]上有唯一極小值，從而最大值在區間端點處取得，通過計算對比可求；

解答：解：（1）∵f（1）=0，∴b=-a，
∴f(x)=(

1

3

x3+ax2-ax-

1

3

)ex，
∴f/(x)=(

1

3

x3+ax2-ax-

1

3

+x2+2ax-a)ex，
又函數y=f（x）在（-1，0）上存在單調遞減區間，
∴f/(x)=(

1

3

x3+ax2-ax-

1

3

+x2+2ax-a)ex≤0，即a(x2+x-1)≤-

1

3

x3-x2+

1

3

在x∈（-1，0）時有解，
∴當x∈（-1，0）時，a≥

- 1 3 x3-x2+ 1 3

x2+x-1

，
又

- 1 3 x3-x2+ 1 3

x2+x-1

=-

1

3

[3+

(x+2)(x-1)2

x2+x-1

]＞-1，
∴a＞-1；
（2）證明：設

f(x)=( 1 3 x3+ax2-ax- 1 3 )ex= 1 3 (x-α)(x-1)(x-β)ex = 1 3 [x3-(α+β+1)x2+(α+β+αβ)x+αβ]ex

∴-

1

3

(α+β+1)=a，

1

3

(α+β+αβ)=-a，

1

3

αβ=

1

3

．即αβ=1，α+β=-3a-1，
由（1）知：a＞-1，∴-3a-1＜2，
∴αβ=1，α+β＜2，α+

1

α

＜2，
∴α＜0，同理β＜0，∴α＜-1＜β；
（3）當a=

1

3

時，f(x)=(

1

3

x3+

1

3

x2-

1

3

x-

1

3

)ex，
∴f/(x)=

1

3

(x3+x2-x-1+3x2+2x-1)ex=

1

3

(x3+4x2+x-2)ex，
令g（x）=x³+4x²+x-2，g'（x）=3x²+8x+1，
h（x）=3x²+8x+1，知h（x）在[-1，2]遞增，g（x）在[-1，

13 -4

3

]上遞減，在[

13 -4

3

，2]上遞增，
又g（-1）=0，g（2）＞0，所以存在唯一x0∈(

13 -4

3

，2)，使g（x₀）=0，
∴f（x）在（-1，x₀）上遞減，在（x₀，2）上遞增，且f（-1）=0，f（2）=3e²，
∴f（x）的最大值為3e²．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值及不等式問題，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．