Question

【題目】如圖，直三棱柱中，且，，分別為，的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若直線與平面所成的角的大小為，求銳二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由已知條件可得是平行四邊形，從而，由已知條件能證明平面，由此能證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，求出面的一個法向量為，根據(jù)線面角可求出，在中求出，在即可求出結(jié)果.

（1）取中點(diǎn)，連接，則，從而，

連接，則為平行四邊形，從而.

∵直三棱柱中，平面，面，∴,

∵，是的中點(diǎn)，∴,

∵，∴面

故平面

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由條件：不妨設(shè)，，

，，，，，

，，

設(shè)平面的一個法向量為，

，可取為一個法向量

，

過作，連，則為二面角的平面角，

在中，，

在中，，，則