Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.

(1)求證：PB∥平面COD；

(2)求二面角O－CD－A的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】試題分析：（1）利用平幾知識計算可得OD∥PB，再根據線面平行判定定理得結論（2）過A作AM⊥DO，垂足為M，過M作MN⊥CD于N，則根據二面角定義得∠ANM為二面角O－CD－A的平面角．再解三角形可得二面角O－CD－A的余弦值．

試題解析：(1)證明　因為PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB平面ABC，

所以PO⊥AB，DA⊥AB.

又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45°.

因為OB＝AB，

所以OA＝AB，所以OA＝OB，

又AO＝PO，所以OB＝OP，

所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.

又PB平面COD，OD平面COD，

所以PB∥平面COD.

(2)解　如圖，過A作AM⊥DO，垂足為M，

過M作MN⊥CD于N，連接AN，

則∠ANM為二面角O－CD－A的平面角．設AD＝a，

在等腰直角三角形AOD中，得AM＝a，

在直角三角形COD中，得MN＝a，

在直角三角形AMN中，得AN＝a，

所以cos∠ANM＝.