Question

【題目】已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P為橢圓C上不與左右頂點重合的動點，設I，G分別為△PF1F2的內心和重心.當直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，橢圓C的離心率為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先找到特殊位置，即取P在上頂點時，內心和重心都在y軸上，由于內心和重心連線的斜率不隨著點P的運動而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.

當直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，取P特殊情況在上頂點時，

內切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，

由此可得不論P在何處，GI始終垂直于x軸，

設內切圓與邊的切點分別為Q，N，A，如圖所示：

設P在第一象限，坐標為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，

連接PI并延長交x軸于M點，連接GI并延長交x軸于N，

則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，

可得重心G（，）所以I的橫坐標也為，|ON|，

由內切圓的性質可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，

所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2

=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，

而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，

由角平分線的性質可得，所以可得OM，

所以可得MN=ON﹣OM，

所以ME=OE﹣OM=x0，

所以，即INPEy0，

（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），

所以整理為：，

故答案為：.