Question

【題目】已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F為CD的中點．

（1）求證：面BCE⊥面DCE；

（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）取線段CE的中點，連接OB，OD，連接BD，可通過勾股定理逆定理證明，再由（等腰三角形性質(zhì)）得線面垂直，從而有面面垂直；

（2）以O為原點，OE、OD、OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，用向量的夾角的余弦值求解二面角余弦值．

（1）設點O為線段CE的中點，連接OB，OD，連接BD，

∵△ACD為等邊三角形，

∴AD＝AC＝CD＝2，

∴CD＝DE＝2，

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE且AB⊥AC，CD⊥DE，AB⊥AD，

∴CE，BC，BD，BE，

∴△CDE為等腰直角三角形，△BCE為等腰三角形，

∴OD，OB，OD⊥CE，

∴OD⊥OB，

又OB∩CE＝O，OB、CE平面BCE，

∴OD⊥平面BCE，

又OD平面DCE，

∴平面BCE⊥平面DCE；

（2）由（1）可得，以O為原點，OE、OD、OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則E（，0，0），C（，0，0），B（0，0，），D（0，，0），

由F為CD的中點得F（，，0），

∴，，，

∴平面BEC的一個法向量，平面BEF的一個法向量，

∴，

由圖可知，二面角C﹣BE﹣F的平面角為銳角，

∴二面角C﹣BE﹣F的余弦值為．