Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且（2b﹣c）cosA＝acosC．

（1）求A；

（2）若△ABC的面積為，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）A．（2）a的最小值為2．

【解析】

（1）由正弦定理將（2b﹣c）cosA＝acosC，轉化為（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，再利用兩角和的正弦公式求解.

（2）根據A和△ABC的面積為bcsinAbc，求得bc＝4，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，再利用基本不等式求解.

（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，

∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，

∴2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，

∵sinB≠0，

∴cosA，

∵A∈（0，π），

∴A．

（2）∵A，△ABC的面積為bcsinAbc，

∴bc＝4，

∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝4，

解得a≥2，當且僅當b＝c＝2時等號成立，

∴a的最小值為2．