Question

我們用符號“||”定義過一些數字概念，如實數絕對值的概念：對于a∈R，|a|=

a，a＞0 0，a=0 -a，a＜0

，可以證明，對任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再寫出兩個這類數學概念的定義及其成立的不等式；
（2）對于集合A，定義“|A|”為集合A中元素的個數，對任意的集合A、B有類似的不等式成立嗎？如果有，寫出一個，并指出等號成立的條件（不必說明理由）；如果沒有，請說明理由；
（3）設有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若從A中任取兩上元素，恰好都是B中元素的概率p≥

1

5

，求|A∩B|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于條件中定義的絕對值的意義，寫出兩個符合這種條件的表達式，一個是復數具有這種性質，一個是向量具有這種性質．
（2）對任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立，左邊等號成立的條件是：B=φ，右邊等號成立的條件是：A∩B=φ．
（3）根據所給的概率的值，表示出概率的表示式，整理出關于n的不等式即n（n-1）≥42，得到n≥7或n≤-6
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N，得到結果．

解答：解：（1）①設復數z=a+bi（a，b∈R），定義復數z的模為：
|z|=

a2+b2

（2分）
對任意復數z₁，z₂，不等式|z₁|-|z₂|≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|成立
（也可以是||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|等）
②平面向量之間具有這種關系，設平面向量

.

a

={x，y}，定義向量的模為：|a|=

x2+y2

（5分）
對于任意向量|

a

|-|

b

|≤|

a

-

b

|≤|

a

|+|

b|

成立
（2）有，對任意集合A，B，不等式|A|-|B|≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左邊等號成立的條件是：B=φ，右邊等號成立的條件是：A∩B=φ；（4分）
（或者：不等式||A|-|B||≤A∪B≤|A|+|B|成立（2分）
左邊等號成立的條件是：B=φ 或A=φ，右邊等號成立的條件是：A∩B=φ；（4分））
（3）易知：|A∩B|≤15，設|A∩B|=n，（1分）
依題意：p=

C 2 n

C 2 15

≥

1

5

，（3分）
即n（n-1）≥42，∴n≥7或n≤-6 （4分）
注意到n≤15，n∈N，所以7≤n≤15，且n∈N
即滿足題意的|A∩B|的取值范圍是{n|7≤n≤15，且n∈N }（6分）

點評：本題是一個新定義問題，幫助我們對于數學中有聯系的知識點進行比較，本題解題的關鍵是讀懂題目所給的條件，并且能夠意義知識點寫出符合條件的式子，本題是一個難題．