Question

我們用符號e^iθ表示復數cosθ+isinθ，即e^iθ=cosθ+isinθ（其中e是自然對數的底數，θ的單位是弧度），給出下面三個結論：
①2ei

π

2

=2i；②

eiθ+e-iθ

2

=sinθ；③e^iπ+1=0．以上結論中，正確結論的序號是（　　）

A．①

B．①②

C．①③

D．②③

Answer 1

分析：由e^iθ=cosθ+isinθ，知：①2e t

π

2

=2（cos

π

2

+isin

π

2

）=2i；②

eiθ+e-iθ

2

=

1

2

[（cosθ+isinθ）+cos（-θ）+isin（-θ）]=cosθ；③e^iπ+1=cosπ+isinπ+1=0．

解答：解：①∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴2e t

π

2

=2（cos

π

2

+isin

π

2

）=2i，故①正確；
②∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴

eiθ+e-iθ

2

=

1

2

[（cosθ+isinθ）+cos（-θ）+isin（-θ）]=cosθ，故②不成立；
③∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴e^iπ+1=cosπ+isinπ+1=0，故③正確．
故選C．

點評：本題考查復數的代數形式的乘除運算，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．