Question

【題目】設(shè)a，b∈R，|a|≤1．已知函數(shù)f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．（14分）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）和y=ex的圖象在公共點(diǎn)（x0 ， y0）處有相同的切線，
（i）求證：f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）若關(guān)于x的不等式g（x）≤ex在區(qū)間[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，a）	（a，4﹣a）	（4﹣a，+∞）
f'（x）	+	﹣	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）證明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由題意知 ，
∴ ，解得 ．
∴f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）解：∵g（x）≤ex ， x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0為f（x）的極大值點(diǎn)，由（I）知x0=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x0=a時(shí)，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．
由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，
∴t'（x）=6x2﹣12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域?yàn)閇﹣7，1]．
∴b的取值范圍是[﹣7，1]．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，列表后可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，由題意知 ，求解可得 ．得到f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，a+1）內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)x0=a時(shí)，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，從而g（x）≤ex在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．構(gòu)造函數(shù)t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用導(dǎo)數(shù)求其值域可得b的范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．