Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分）
（I）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；
（II）求證：PD⊥平面PBC；
（II）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，
由已知AD∥BC，
故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角．
因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA中，由已知，得 ，
故 ．
所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為 ．
證明：（Ⅱ）因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因為BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，
則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．
因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF中，可得 ．
所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，從而∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，由此能求出異面直線AP與BC所成角的余弦值． （Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．