Question

已知函數f(x)=sin2ωx+

3

sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期為3π．
（1）將函數f（x）的圖象向左平移

π

4

單位后得到函數g（x）的圖象，求g（x）在區間[0，2π]上的值域；
（2）若sin(θ+ωπ)=

3

3

，且0＜θ＜

π

2

，求sinθ．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦 函數公式化為一個角的正弦函數，根據已知的周期，利用周期公式求出ω的值，確定出f（x）解析式，利用平移規律確定出g（x）解析式，根據x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出g（x）的值域；
（2）將ω代入已知等式，根據θ的范圍求出這個角的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（θ+

π

3

）的值，原式變形后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵f（x）的最小正周期為3π，ω＞0，
∴

2π

|2ω|

=3π，即ω=

1

3

，
∴f（x）=sin（

2

3

x-

π

6

）+

1

2

，
根據題意得：g（x）=sin[

2

3

（x+

π

4

）-

π

6

]+

1

2

=sin

2

3

x，
∵x∈[0，2π]，∴

2

3

x∈[0，

4π

3

]，
∴sin

2

3

x∈[-

3

2

，1]，
則g（x）在區間[0，2π]上的值域為[-

3

2

，1]；
（2）由（1）得：sin（θ+

π

3

）=

3

3

＜

3

2

，
∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

2

＜θ+

π

3

＜

5π

6

，
∴cos（θ+

π

3

）=-

1-( 3 3 )2

=-

6

3

，
則sinθ=sin[（θ+

π

3

）-

π

3

]=sin（θ+

π

3

）cos

π

3

-cos（θ+

π

3

）sin

π

3

=

3

3

×

1

2

-

3

2

×（-

6

3

）=

3

6

+

2

2

=

3 +3 2

6

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．